Zagadnienia na licencjat

1. Ciągi liczb rzeczywistych. Zbieżność ciągu, warunek Cauchy'ego.

Definicja

Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$ lub jego skończony odcinek początkowy $\{ 1, 2, 3, ... , m \}$. Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wyrazy są liczbami.

Liczbę $g$ nazywamy granicą ciągu nieskończonego $(a_n)$ , jeśli dla każdej liczby dodatniej istnieje taka liczba $k$, że dla $n>k$ zachodzi nierówność: $|a_n-g|< \epsilon$

Ciągiem zbieżnym (rozbieżnym) nazywamy ciąg, który posiada granicę (nie posiada granicy).

Własności:

1. Jeśli ciąg posiada granicę to tylko jedną.

2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

3. Przy założeniu, że ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne, zachodzą następujące wzory:

   • $\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \pm \lim_{n \to \infty} b_n$ (dla iloczynu i ilorazu też zachodzi)
   • $\lim_{n \to \infty} - (a_n) = - \lim_{n \to \infty} a_n$

4. Jeżeli ciąg $(b_n)$ jest zbieżny i $\lim_{n \to \infty} \neq 0$, to $\lim_{n \to \infty} {1 \over b_n} = {1 \over {\lim_{n \to \infty} b_n}}$.

5. Jeżeli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny, to $\lim_{n \to \infty} |a_n| = | \lim_{n \to \infty} a_n|$.

6. (Tw. o trzech ciągach): Jeśli $a_n \leq c_n \leq b_n \;\; i \;\; \lim_{n \to\infty} a_n = g = \lim_{n\to\infty} b_n$ , to ciąg $(c_n)$ jest zbieżny, przy czym $\lim_{n \to\infty} c_n = \lim_{n \to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} a_n$.

7. Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu nie wpływa na jego zbieżność/granicę.

8. Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co ciąg dany.

Warunek Cauchy’ego:

$\forall_{\epsilon > 0} \;\;\exists_{n_0 \in \mathbb{N}}\;\;\forall_{n, m > n_0}\;\;(|a_n - a_m|<\epsilon)$

Po ludzku: Ciągi Cauchy'ego to takie ciągi, dla których odległości między wyrazami zmierzają do zera. Oznacza to, że wybierając dowolnie małą dodatnią liczbę rzeczywistą $\epsilon$ , można ustalić odpowiednio duży wskaźnik $\mathbb{N}$ taki, że dowolne dwa wyrazy o wyższych wskaźnikach są odległe od siebie o mniej niż $\epsilon$.

Własności ciągu Cauchy'ego:

1. Ciąg $(a_n)^{\infty}_{n=1}$ jest zbieżny $\Longleftrightarrow$ gdy jest ciągiem Cauchy’ego. (ale niekoniecznie odwrotnie).

2. Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.

2. Macierze. Podstawowe operacje na macierzach. Rząd i wyznacznik macierzy.

Macierzą (rzeczywistą) wymiaru m$\times$n, gdzie m, n $\isin$ $\natnums$, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z m$\times$n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n kolumnach

$$\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\\ \end{array}\right]$$

Dzialania na macierzach

Suma/różnica
Niech macierz $A=[a_{ij}]$, $B=[b_{ij}]$. Sumą/różnicą nazywamy macierz $C=[c_{ij}]_{m\times n}$, której elementy określone są wzorami

$$c_{ij}=a_{ij}\plusmn b_{ij} \ dla \ i \isin\{1, 2, \ldots, m\}, j \isin\{1, 2, \ldots, n\}.$$

$$C=A\plusmn B$$

Zatem,

$$\left[\begin{array}{cc} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn}\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} a_{11}\plusmn b_{11} & a_{12}\plusmn b_{12} & \ldots & a_{1n}\plusmn b_{1n}\\ a_{21}\plusmn b_{21} & a_{22}\plusmn b_{22} & \ldots & a_{2n}\plusmn b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}\plusmn b_{m1} & a_{m2}\plusmn b_{m1} & \ldots & a_{mn}\plusmn b_{mn}\\ \end{array}\right]$$

Iloczyn macierzy przez liczbę
Niech $A=[a_{ij}]_{m\times n}, \alpha$ niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Iloczynem macierzy $A$ przez liczbę $\alpha$ nazywamy macierz $B=[b_{ij}]_{m\times n}$ której elementy określone są następująco:

$b_{ij}=\alpha \cdot a_{ij}$

$B=\alpha \cdot A$

$$\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn}\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \alpha \cdot a_{11} & \alpha \cdot a_{12} & \ldots &\alpha \cdot a_{1n}\\ \alpha \cdot a_{21} & \alpha \cdot a_{22} & \ldots & \alpha \cdot a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \alpha \cdot a_{m1} & \alpha \cdot a_{m2} & \ldots & \alpha \cdot a_{mn}\\ \end{array}\right]$$

Iloczyn macierzy

Iloczyn macierzy $AB$ jest możliwy jeśli macierz $A$ ma tyle samo kolumn co macierz $B$ ma wierszy. Iloczynem macierzy $A=[a_{ij}]_{n\times p}$ przez macierz $B=[b_{ij}]_{p\times m}$ nazywamy macierz $C=[c_{ij}]_{n\times m}$ taką, że:

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots +a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}$$

Własności iloczynu macierzy:

• mnożenie macierzy jest łączne $A(BC)=(AB)C$ dlatego zapis $ABC$ jest jednoznaczny
• mnożenie macierzy jest rodzielne względem dodawania $A(B+C)=AB+BC$ i $(B+C)A=BA+CA$
• mnożenie macierzy nie jest przemienne $AB\not =BA$

Macierz transponowana

Niech

$$A=\left[\begin{array}{cc} -5 & 2 & 1\\ -1 & 6 & 2\\ 2 & 0 & 1\\ 2 & 64 & 5\\ \end{array}\right]$$

Wówczas

$$A^T=\left[\begin{array}{cc} -5 & -1 & 2 & 2\\ 2 & 6 & 0 & 64\\ 1 & 2 & 1 & 5\\ \end{array}\right]$$

Rząd macierzy

Chcąc obliczyć rząd macierzy musimy znależć największą macierz, której wyznacznik jest różny od zera, wielkość tej niezerowej macierzy będzie szukaną wartością, czyli jeśli największą macierzą, której wyznacznik jest różny od zera jest macierz $3\times 3$ to rząd macierzy jest równy $3$.

Przyklad

$$A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 & 3 & -4\\ 1 & 4 & 1 & -2\\ 5 & 20 & 0 & -10\\ -3 & -12 & -2 & 6\\ \end{array}\right]$$

Aby obliczyć rząd macierzy zaczynamy od obliczenia wyznacznika największej macierzy czyli w tym przypadku $4\times 4$

$$det(A)=\left|\begin{array}{cc} 2 & 8 & 3 & -4\\ 1 & 4 & 1 & -2\\ 5 & 20 & 0 & -10\\ -3 & -12 & -2 & 6\\ \end{array}\right| = 0$$

Następnie obliczamy macierze $3\times 3$ do momentu aż wyjdzie nam liczba różna od zera. Z macierzy $4\times 4$ można utowrzyć 16 macierzy $3\times 3$ w następujący sposób:

1. $$det(A)=\left|\begin{array}{cc} - & - & - & -\\\mid & 4 & 1 & -2\\\mid & 20 & 0 & -10\\\mid & -12 & -2 & 6\\\end{array}\right|$$

2. $$det(A)=\left|\begin{array}{cc} - & - & - & -\\1 & \mid & 1 & -2\\5 & \mid & 0 & -10\\-3 & \mid & -2 & 6\\\end{array}\right|$$

3. $\ldots$
4. $\ldots$
5. $\ldots$
6. $\ldots$
7. $\ldots$
8. $\ldots$
9. $\ldots$
10. $\ldots$

11. $$det(A)=\left|\begin{array}{cc} 2 & 8 & \mid & -4\\1 & 4 & \mid & -2\\- & - & - & -\\-3 & -12 & \mid & 6\\\end{array}\right|$$

12. $\ldots$
13. $\ldots$
14. $\ldots$
15. $\ldots$

16. $$det(A)=\left|\begin{array}{cc} 2 & 8 & 3 & \mid\\1 & 4 & 1 & \mid\\5 & 20 & 0 & \mid\\- & - & - & -\\\end{array}\right|$$

Jeżeli któraś z nich wyjdzie różna od zera to koniec obliczeń. Wystarczy że obliczając wyznacznik macierzy pierwszej $3\times 3$ wyjdzie nam liczba różna od zera - wtedy z automatu możemy powiedzieć, że rząd macierzy wynosi $3$. Analogicznie jeżeli wszystkie wzory wyjdą na $0$, to wtedy szukamy macierzy $2\times 2$ poprzez wykreślenie wiersza i kolumny analogicznie jak do kroków powyżej tak aby otrzymać macierz $2\times 2$ (czyli wykreślając po dwa wiersze i dwie kolumny).
Dla macierzy

$$\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 & 3 & -4\\ 1 & 4 & 1 & -2\\ 5 & 20 & 0 & -10\\ -3 & -12 & -2 & 6\\ \end{array}\right]$$

operacja ta wygalda nastepująco:

$$\left[\begin{array}{cc} - & - & - & -\\ - & - & - & -\\ \mid & \mid & 0 & -10\\ \mid & \mid & -2 & 6\\ \end{array}\right] \rArr \left[\begin{array}{cc} 0 & -10\\ -2 & 6\\ \end{array}\right]$$

Wyznacznik macierzy

$1\times 1:$ $det(A)=\left|\begin{array}{cc}5\\\end{array}\right|=5$
$2\times 2:$ $det(A)=\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22} - a_{21}\cdot a_{12}$
$3\times 3:$ np. Metoda Sarrusa

1. Dopisujemy z prawej kolumny $1$ oraz $2$
   $det(A)=\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\\end{array}$
2. Następnie wymnażamy wyrazy zaznaczone kolorem
   $det(A)=\left|\begin{array}{cc} \color{blue}a_{11} & \color{green}a_{12} & \color{red}a_{13}\\ a_{21} & \color{blue}a_{22} & \color{green}a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & \color{blue}a_{33}\end{array}\right|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ \color{red}a_{21} & a_{22}\\ \color{green}a_{31} & \color{red}a_{32}\\\end{array}$
   czyli
   $a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}$
3. Analogicznie w drugą stronę
   $det(A)=\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \color{blue}a_{13}\\ a_{21} & \color{blue}a_{22} & \color{green}a_{23}\\ \color{blue}a_{31} & \color{green}a_{32} & \color{red}a_{33}\end{array}\right|\begin{array}{cc} \color{green}a_{11} & \color{red}a_{12}\\ \color{red}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\\end{array}$
   czyli
   $a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31} + a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} + a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$
4. Następnie od wielomianu z kroku $2$ odejmujemy wielomian z kroku $3$:
   $(a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}) - (a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31} + a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} + a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33})$

$4\times 4:$ np. Rozwinięcie Laplace'a

Szukamy w macierzy wiersza lub kolumny która ma najwięcej zer (dla łatwiejszego obliczania). Na przykład:

Dla macierzy

$$\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 5 & 7 & -2 & 0\\ 2 & 0 & -1 & 4\\ \end{array}\right]$$

Sytuacja wyglada tak:

$$\left|\begin{array}{cc} \color{red}1 & \color{green}-1 & \color{blue}2 & \color{magenta}4\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ \color{red}5 & \color{green}7 & \color{blue}-2 & \color{magenta}0\\ \color{red}2 & \color{green}0 & \color{blue}-1 & \color{magenta}4\\ \end{array}\right|=\color{red}0\color{default}\cdot (-1)^{2+1}\cdot \left|\begin{array}{cc}-1 & 2 & 4\\7 & -2 & 0\\0 & -1 & 4\\\end{array}\right| + \color{green}1\color{default}\cdot (-1)^{2+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}1 & 2 & 4\\5 & -2 & 0\\2 & -1 & 4\\\end{array}\right| + \color{blue}0\color{default}\cdot (-1)^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}1 & -1 & 4\\5 & 7 & 0\\2 & 0 & 4\\\end{array}\right| + \color{magenta}3\color{default}\cdot (-1)^{2+4}\cdot \left|\begin{array}{cc}1 & -1 & 2\\5 & 7 & -2\\2 & 0 & -1\\\end{array}\right| =$$

$$\color{green}((1\cdot (-2)\cdot 4 + 2\cdot 0\cdot 2 + 4\cdot 5\cdot (-1)) - (2\cdot (-2)\cdot 4 + 1\cdot 0\cdot (-1) + 4\cdot 5\cdot 2)) \color{default}+ \color{magenta}3\cdot((1\cdot 7\cdot (-1) + (-1)\cdot (-2)\cdot 2 + 2\cdot 5\cdot 0)-(2\cdot 7\cdot 2 + 1\cdot (-2)\cdot 0 + (-1)\cdot (-1)\cdot 5))\color{default} =$$

$$\color{green}((-8 + 0 + (-20))-((-16) + 0 + 40))\color{default} + \color{magenta}3\cdot(((-7) + 4 + 0)-(28 + 0 + 5))\color{default} =$$

$$\color{green}((-28)-(24))\color{default} + \color{magenta}3\cdot((-3)-(33))\color{default} =$$

$$\color{green}(-52)\color{default} + \color{magenta}3\cdot(-36)\color{default} =$$

$$\color{green}-52\color{default} + \color{magenta}-108\color{default} = -160$$

Gdzie po równaniu pierwsza liczba to liczba $z$ wiersza $m$ i kolumny $n$ pomnożone przez $(-1)$ do potegi $(m+n)$ razy macierz po wykreśleniu wiersza $m$ i kolumny $n$. Następne dodajemy analogicznie.

Maceirz odwrotna $(A^{-1})$

Wzór:

$$A^{-1}=(A^D)^T\cdot \frac{1}{det(A)}$$

gdzie:

• $A^{-1}$ - macierz odwrotna
• $A^D$ - macierz dopełnień algebraicznych
• $(A^D)^T$ - macierz dołączona - czyli transponowana z macierzy dopełnień algebraicznych
• $det(A)$ - wyznacznik macierzy

Nie można obliczyć macierzy odwrotnej z macierzy osobliwej, czyli takiej której wyznacznik jest równy $0$. Więc jeśli liczymy macierz odwrotną zawsze zaczynamy od obliczania wyznacznika macierzy, jeśli wyjdzie on $0$ to znaczy, że z danej macierzy nie można obliczyć macierzy odwrotnej.

Macierz odwrotna jest określona tylko dla macierzy kwadratowych, których wyznacznik $W$ jest $W\not ={0}$.
Macierz odwrotna $A^{-1}$ do macierzy kwadratowej $A$ to macierz spełniająca równanie $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=I$, gdzie $I$ to macierz jednostkowa.
Jeśli macierz $A^{-1}$ istnieje to macierz $A$ nazwyamy odwracalną, a jeśli macierz $A^{-1}$ nie istnieje to macierz $A$ nazywamy nieodwracalną.
Jeśli macierz $A$ jest odwracalna to istnieje tylko jedna macierz odwrotna $A^{-1}$

Własności macierzy odwrotnej

• macierzą odwrotną od macierzy jednostkowej jest ta sama macierz tzn. $I^{-1}=I$
• $(diag(a_{11},a_{22},\ldots ,a_{nn}))^{-1}=diag((a_{11})^{-1},(a_{22})^{-1},\ldots, (a_{nn})^{-1})$
• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$
• $(cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}$, gdzie $c$ to stała
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• $det(A^{-1})=(det(A))^{-1}$
• macierz odwrotna do nieosobliwej macierzy symetrycznej jest symmetryczna
• macierz odwrotna do nieosobliwej macierzy trójkątej jest trójkątna

Macierz nieosobliwa - macierz kwadratowa o wyznaczniku róznym od zera
Macierz symetryczna - macierz kwadratowa której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe, przykład:

$$\left[\begin{array}{cc}a_{11} & a_{2} & \ldots & a_{n}\\a_{2} & a_{22} & \ldots & a_{n-1}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n}& a_{n-1} & \ldots & a_{nn}\\\end{array}\right]$$

Proces obliczania macierzy odwrotnej dla macierzy $3\times 3$

$$B= \left[\begin{array}{cc} a_{11}& a_{12} &a_{13}\\ a_{21}& a_{22} &a_{23}\\ a_{31}& a_{32} &a_{33}\\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & 5 & 7\\ 6 & 3 & 4\\ 5 & -2 & -3\\ \end{array}\right]$$

Podobnie jak wcześniej najpierw obliczamy wyznacznik macierzy $3\times 3$:

$$det(B)= \left|\begin{array}{cc} 2 & 5 & 7\\ 6 & 3 & 4\\ 5 & -2 & -3\\ \end{array}\right| = -1$$

Następnie obliczamy macierz dopełnień algebraicznych:

$$B^D= \left[\begin{array}{cc} + \left|\begin{array}{cc} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right|& - \left|\begin{array}{cc} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{array}\right| & + \left|\begin{array}{cc} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{array}\right|\\ - \left|\begin{array}{cc} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right|& + \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{array}\right| & - \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{array}\right|\\ + \left|\begin{array}{cc} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23}\\ \end{array}\right|& - \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23}\\ \end{array}\right| & + \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{array}\right|\\ \end{array}\right]$$

czyli

$$B^D= \left[\begin{array}{cc} + \left|\begin{array}{cc} 3 & 4\\ -2 & -3\\ \end{array}\right|& - \left|\begin{array}{cc} 6 & 4\\ 5 & -3\\ \end{array}\right| & + \left|\begin{array}{cc} 6 & 3\\ 5 & -2\\ \end{array}\right|\\ - \left|\begin{array}{cc} 5 & 7\\ -2 & -3\\ \end{array}\right|& + \left|\begin{array}{cc} 2 & 7\\ 5 & -3\\ \end{array}\right| & - \left|\begin{array}{cc} 2 & 5\\ 5 & -2\\ \end{array}\right|\\ + \left|\begin{array}{cc} 5 & 7\\ 3 & 4\\ \end{array}\right|& - \left|\begin{array}{cc} 2 & 7\\ 6 & 4\\ \end{array}\right| & + \left|\begin{array}{cc} 2 & 5\\ 6 & 3\\ \end{array}\right|\\ \end{array}\right]$$

Więc:

$$B^D= \left[\begin{array}{cc} -1 & 38 & -27 \\ 1 & -41 & 29 \\ -1 & 34 & -24 \\ \end{array}\right]$$

Następnie obliczamy macierz transponowaną:

$$(B^D)^T= \left[\begin{array}{cc} -1 & 1 & -1 \\ 38 & -41 & 34 \\ -27 & 29 & -24 \\ \end{array}\right]$$

więc macierz odwrotna będzie miała postać:

$$\frac{(B^D)^T}{det(B)}= \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 & 1 \\ -38 & 41 & -34 \\ 27 & -29 & 24 \\ \end{array}\right]$$

Ślad macierzy

Ślad macierzy jest to suma elementów leżących na przekątnej danej macierzy. Ślad macierzy definujemy tylko dla macierzy kwadratowej. Ślad macierzy kwadratowej $A=[a_{ij}]$ stopnia $n$ jest sumą elementów leżących na głównej przekątnej (diagonali). Ślad macierzy oznaczamy $Tr(A), TrA$ lub $trace(A)$.

$$Tr(A) = \sum_{i=1}^{n}{a_{ii}} = a_{11} + a_{22} + \ldots + a_{nn}$$

Mając macierz

$$A= \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 & 4 & -4\\ -3 & 4 & -6 & 12\\ -9 & 2 & -1 & 3\\ 5 & 0 & 2 & 1\\ \end{array}\right]$$

obliczamy ślad macierzy w następujący sposób:

$$tr(A)=tr \left[\begin{array}{cc} \color{red}1 & 2 & 4 & -4\\ -3 & \color{red}4 & -6 & 12\\ -9 & 2 & \color{red}-1 & 3\\ 5 & 0 & 2 & \color{red}1\\ \end{array}\right] = 1 + 4 + (-1) + 1 = 5$$

Własności śladu macierzy

• jeśli macierze $A=a_{ij}$ i $B=b_{ij}$ są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia to: $Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)$
• jeśli macierz $A=a_{ij}$ jest macierzą kwadratową, a $\alpha$ jest liczbą rzeczywistą to: $Tr(\alpha A)=\alpha Tr(A)$
• jeśli $A\isin M_n$ a $B\isin M_n$ to: $Tr(AB)=Tr(BA)$
• jeśli $A\isin M_n$, $B\isin M_n$ i $C\isin M_n$ (cykliczna przemieenność śladu) to: $Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)$
• przekątna główna mecierzy nie ulegnie zmianie przy transpozycji: $Tr(A)=Tr(A^T)$

3. Rozwiązywanie układów równań liniowych.

Rozważmy układ $m$ równań liniowych o $n$ niewiadomych $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

$$(*) \left\{ \begin{array}{cc} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{array} \right\}$$

oraz macierz $A\isin M_{n\times m}$:

$$A= \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\\ \end{array} \right]$$

nazywać będziemy macierzą układu $(*)$.

Macierz

$$B= \left[ \begin{array}{cc} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m}\\ \end{array} \right]$$

nazywać będziemy macierzą wynikową.

Macierz

$$A_r= \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}b_m\\ \end{array} \right]$$

nazywać będzimy macierzą rozszerzoną układu $(*)$.

Rozwiązaniem układu $(*)$ nazywać będziemy każdy $n$-elementowy ciąg $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ taki, że po podstawieniu $x_i = y_i$ do układu $(*)$ otrzymujemy $n$ równości:

$$\left\{ \begin{array}{cc} a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + \ldots + a_{1n}y_n = b_1\\ a_{21}y_1 + a_{22}y_2 + \ldots + a_{2n}y_n = b_2\\ \vdots\\ a_{m1}y_1 + a_{m2}y_2 + \ldots + a_{mn}y_n = b_m\\ \end{array} \right\}$$

Operacje elementarne

Za pomocą operacji elementarnych możemy przekształcać wiersze macierzy.

Możliwe operacje elementarne:

• Dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego lub nie przez liczbę
• Odjęcie od dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego lub nie przez liczbę
• Pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera
• Zamiana miejscami dwóch wierszy

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa polega na stosowaniu operacji elementarnych do macierzy rozszerzonej uładu równań liniowych tak, aby doprowadzić macierz rozszerzoną do postaci schodkowej.

Postać schodkowa:

$$\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & b\\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & c\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & z\\ \end{array} \right] gdzie \{a,b,c,\ldots,z\} \isin \reals$$

Przykład:

$$\left\{ \begin{array}{cc} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14\\ x_1 + 3x_2 + x_3 = 10\\ 2x_1 + 5x_2 + 5x_3 = 27\\ \end{array} \right\} \lrArr \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 14\\ 1 & 3 & 1 & 10\\ 2 & 3 & 1 & 27\\ \end{array} \right] \rarr_{w_2 - w_1}^{w_3-2w_1} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 14\\ 0 & 1 & -2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ \end{array} \right] \rarr^{w_3-w_2} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 14\\ 0 & 1 & -2 & -4\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{array} \right] \rarr^{w_2+2w_3}$$

$$\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 14\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{array} \right] \rarr^{w_1-3w_3} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & 0 & 5\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{array} \right] \rarr^{w_1-2w_2} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{array} \right] \lrArr \left\{ \begin{array}{cc} x_1 = 1\\ x_2 = 2\\ x_3 = 3\\ \end{array} \right\}$$

Twierdzenie Cramera

Rozważamy układ $n$ równań liniowych o $n$ niewiadomych $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

$$\left\{ \begin{array}{cc} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\ \vdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\ \end{array} \right\}$$

Jeżeli wyznacznik macierzy tego układu jest różny od zero $(det(A)\not ={0})$ to ten układ ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci:

$$x_i=\frac{det(A_i)}{det(A)}, i=1, 2, \ldots, n$$

Natomiast macierz $A_i$ powstaje z macierzy $A$ poprzez zastąpienie $i$-tej kolumny macierzy $A$ przez kolumnę macierzy wynikowej.

Przykład

$$\left\{ \begin{array}{cc} 8x_1 + x_2 + 2x_3 = 16\\ 5x_1 - 3x_2 - 7x_3 = -22\\ -5x_2 + 7x_3 = 11\\ \end{array} \right\}$$

Najpierw sprawdźmy czy wyznacznik macierzy układu jest rózny od zera

$$A = \left[ \begin{array}{cc} 8 & 1 & 2 \\ 5 & -3 & -7 \\ 0 & -5 & 7 \\ \end{array} \right]$$

$$det(A) = \left| \begin{array}{cc} 8 & 1 & 2 \\ 5 & -3 & -7 \\ 0 & -5 & 7 \\ \end{array} \right| = -553$$

Oznacza to e układ ten ma dokladnie jedno rozwiązanie.

Musimy znalezc wzynacznik odpowiadajace kolejnym niewiadomym, czyli $A_1, A_2, A_3$.

$A_1$

Wykreslamy pierwsza kolumne macierzy

$$A = \left[ \begin{array}{cc} \color{red}8 & 1 & 2 \\ \color{red}5 & -3 & -7 \\ \color{red}0 & -5 & 7 \\ \end{array} \right]$$

W wolne miejsce wpisujemy kolumne macierzy wynikowej

$$A_1 = \left[ \begin{array}{cc} \color{green}16 & 1 & 2 \\ \color{green}-22 & -3 & -7 \\ \color{green}11 & -5 & 7 \\ \end{array} \right]$$

Obliczamy wartosc $det(A_1)$

$$det(A_1) = \left| \begin{array}{cc} 16 & 1 & 2 \\ -22 & -3 & -7 \\ 11 & -5 & 7 \\ \end{array} \right| = -533$$

Teraz mozemy wyznaczyc niewiadoma $x_1$

$$x_1 = \frac{det(A_1)}{det(A)} = \frac{-533}{-533} = 1$$

$A_2$

$$A = \left[ \begin{array}{cc} 8 & \color{red}1 & 2 \\ 5 & \color{red}-3 & -7 \\ 0 & \color{red}-5 & 7 \\ \end{array} \right]$$

$$A_2 = \left[ \begin{array}{cc} 8 & \color{green}16 & 2 \\ 5 & \color{green}-22 & -7 \\ 0 & \color{green}11 & 7 \\ \end{array} \right]$$

$$det(A_2) = \left| \begin{array}{cc} 8 & 16 & 2 \\ 5 & -22 & -7 \\ 0 & 11 & 7 \\ \end{array} \right| = -1066$$

$$x_2 = \frac{det(A_2)}{det(A)} = \frac{-1066}{-533} = 2$$

$A_3$

$$A = \left[ \begin{array}{cc} 8 & 1 & \color{red}2 \\ 5 & -3 & \color{red}-7 \\ 0 & -5 & \color{red}7 \\ \end{array} \right]$$